続・3の倍数を見つける方法

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3の倍数…

前回、3の倍数を見つける方法 で出した結論ですが……

$$n桁の整数Nについて、k桁目に(10-l)^{k-1}を掛け、\\その各桁の数の総和がlの倍数なら、Nはlの倍数$$

これ、3の倍数について説明出来てないという大失態です。
タイトル詐欺です。
3の倍数の判定は
「各桁を足して3の倍数になればその数字は3の倍数」

各桁ただただ足してるということは、\((10-3)^n = 7^n\)を掛けてないわけですよ。なぞー。

割と大きい数の倍数

そのほか、こいつの問題点といえば、
$$91の倍数調べるとき、(101)^nを各桁に以下略$$
何か3桁…めんどくさ…。

とまぁ、いろいろ問題点が浮上。
さてどうしましょう…

解決方法見つけました

見つけました。これから説明します。

そして、急に文字ばっかりの説明で突き放します。「わからん」ってなったら次行っちゃってください。

あるn桁の整数をNとして、それの表し方を
\[
N=\sum_{k=1}^n10^{k-1}a_k
\]
ってしてたんですが、これをちょっといじって、
\[
N=\sum_{k=1}^n\frac{x^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k
\]

あとは、\(l\)の倍数かどうかを判定するために行う操作の式を

\[
\sum_{k=1}^n\frac{(x-l)^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}} a_k=lM
\]

とします。

例のごとく引きましょう。
\[
\begin{eqnarray*}
N-lM&=&\sum_{k=1}^n\frac{x^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k – \sum_{k=1}^n\frac{(x-l)^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}} a_k\\&=&\sum_{k=1}^n\frac{x^{k-1}-(x-l)^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k\\&=&\sum_{k=1}^n\frac{lα_k}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k\\
ということで、
N&=&\sum_{k=1}^n\frac{lα_k}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k+lM\\
&=&l[\sum_{k=1}^n\frac{α_k}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k+M]\\
\end{eqnarray*}
\]

あってそーう!
あ、でも\(x\)って何でもいいのかな?
とりあえず整数入れてた方がよさそう。

~~~~

とりあえず結論

$$n桁の整数N,任意の数xについて、k桁目に\frac{(x-l)^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}}を掛け、\\その各桁の数の総和がlの倍数なら、Nはlの倍数$$

総和が有理数になるパターンがでちゃう!倍数…
そのパターンに対処するため、倍数の意味をこうしますか。

$$分子と分母の整数について互いに素になるまで約分して、\\その時の分子がlで割り切れたら、その有理数はlの倍数$$

これでいけます。マジ。

これを使えば、49の倍数を判別するとき\(x=50\)とすれば簡単に!

3の倍数、和。証明。

さて、今回の(たぶん)本題。

各桁の和が3の倍数なら3の倍数の話。

ふと思えば、足した結果が、任意の整数nについて「\(3^nの倍数\)」だったら3で割れるんだから3の倍数じゃんと。
ということで、前回の「\(7の倍数の時の証明\)」の\(7\)を\(3^2\)に変えてやるとOKですな。
レポート書くときの参考にどうぞ。

続編→「新・3の倍数を見つける方法

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