続・3の倍数を見つける方法

3の倍数…

前回、3の倍数を見つける方法で出した結論ですが……

$$n桁の整数Nについて、k桁目に(10-l)^{k-1}を掛け、\\その各桁の数の総和がlの倍数なら、Nはlの倍数$$

これ、3の倍数について説明出来てないという大失態です。
タイトル詐欺です。
3の倍数の判定は
「各桁を足して3の倍数になればその数字は3の倍数」

各桁ただただ足してるということは、$(10-3)^n = 7^n$を掛けてないわけですよ。なぞー。

割と大きい数の倍数

そのほか、こいつの問題点といえば、
$$91の倍数調べるとき、(101)^nを各桁に以下略$$
何か3桁…めんどくさ…。

とまぁ、いろいろ問題点が浮上。
さてどうしましょう…

解決方法見つけました

見つけました。これから説明します。

そして、急に文字ばっかりの説明で突き放します。「わからん」ってなったら次行っちゃってください。

あるn桁の整数をNとして、それの表し方を
\[
N=\sum_{k=1}^n10^{k-1}a_k
\]
ってしてたんですが、これをちょっといじって、
\[
N=\sum_{k=1}^n\frac{x^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k
\]

あとは、$l$の倍数かどうかを判定するために行う操作の式を

\[
\sum_{k=1}^n\frac{(x-l)^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}} a_k=lM
\]

とします。

例のごとく引きましょう。
\[
\begin{eqnarray*}
N-lM&=&\sum_{k=1}^n\frac{x^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k – \sum_{k=1}^n\frac{(x-l)^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}} a_k\\&=&\sum_{k=1}^n\frac{x^{k-1}-(x-l)^{k-1}}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k\\&=&\sum_{k=1}^n\frac{lα_k}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k\\
ということで、
N&=&\sum_{k=1}^n\frac{lα_k}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k+lM\\
&=&l[\sum_{k=1}^n\frac{α_k}{(\frac{x}{10})^{k-1}}a_k+M]\\
\end{eqnarray*}
\]

あってそーう！
あ、でも$x$って何でもいいのかな？
とりあえず整数入れてた方がよさそう。

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